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求解决,已知三点坐标,到三点的距离比例,求未知点坐标

来源:SegmentFault

时间:2023-02-16 15:23:07 456浏览 收藏

知识点掌握了,还需要不断练习才能熟练运用。下面golang学习网给大家带来一个Golang开发实战,手把手教大家学习《求解决,已知三点坐标,到三点的距离比例,求未知点坐标》,在实现功能的过程中也带大家重新温习相关知识点,温故而知新,回头看看说不定又有不一样的感悟!

问题内容

求教各位大神一个数学算法
已知三点坐标p1(x0,y0),p2(x1,y1)p3(x2,y2).未知点M(x,y)到三点的比例d1,d2,d3,求未知点坐标
备注:1.M未必在p1,p2,p3 所组成三角形内 能否有一个固定解公式,实在不行准备去学校蹲点去

正确答案

$$\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} {(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \frac{d_1^2} {d_2^2}$$
$$\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} {(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} = \frac{d_1^2} {d_3^2}$$

题主如果有学校的资源的话,用Matlab来解这个2元2次方程组,可以得到通解。(其实手算也可以,不过展开之后太长了,多年不碰这个,怕算错了)
但要注意,得到的2组解,有一组需要排除掉。(在有解的情况下)

另外通过阿氏圆定理,该题可转化为求两个圆的交点,也是2元2次方程组。
同样的,2个圆的若相交,交点有2个,需要排除掉一个。(在有解的情况下)


补充:求三个圆两两相交的交点
下面方程1、2、3即分别描述了3个圆,将其两两组合为方程组并求解,可得交点(最少0个交点,最多6个交点)
方程1:$$\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} {(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \frac{d_1^2} {d_2^2}$$
方程2:$$\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} {(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} = \frac{d_1^2} {d_3^2}$$
方程3:$$\frac{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} {(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} = \frac{d_2^2} {d_3^2}$$
$$\left\{\begin{array}\\方程1\\方程2\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}\\方程1\\方程3\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}\\方程2\\方程3\end{array}\right.$$

然后,关于结果的判断逻辑,比较复杂,这里先分类设想下,权当抛砖引玉,作为参考。
因为平面中的两个圆,有可能有2个交点、1个交点或0个交点,3种情况。
若交点数为6,且其中没有重合点,两两相交,近似点可能在较近的3点组成的三角形内。
若交点数为6,且其中3点重合,重合点为理想的解。
若交点数为5,有2个圆相切,另一个圆与这两个圆分别相交。近似点有可能在切点与另2点之间。
若交点数为4,有2个圆相交,另一个圆与这两个圆分别相切。近似点可能在2个切点与另一个较近交点组成的三角形内。
若交点数为4,还有一种可能是一个圆与另两个分别相交,且这另两个圆无交点。这情况有点复杂,近似点不明。
若交点数为3,那么3个圆两两相切。近似点可能在这3点组成的三角形内。
若交点数为3,另一种可能是两个圆相交,且另一个圆与其中一个相切。近似点不明。
若交点数为2,可能是2个交点,或者2个切点。近似点不明。
若交点数为1,一个切点,近似点不明。
若交点数为0,3个圆两两相离。近似点不明。
(不敢保证考虑全了,如有疏漏请大家提醒~~)

如果题主的问题只是偶尔求解,那么可以用软件绘出3个圆,比较好判断。
如果是需要用程序自动计算,那么逻辑比较复杂。需要全面考虑各种情况,好好设计一下。


--再次补充--

今天正好看到一些关于超定方程组的知识,发现适用于题主的问题。

超定方程组是指方程个数大于未知量个数的方程组。

超定方程一般是不存在解的矛盾方程。

例如,如果给定的三点不在一条直线上, 我们将无法得到这样一条直线,使得这条直线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件(限制)过于严格, 导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中,求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说,就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下,求一个最接近的解。

上面所列的方程1、2和3,包含2个未知数,即是超定方程组。
不过,最小二乘法是求解线性超定方程组的,题主这里是非线性超定方程组。
试试搜索页里的方法,有很多Matlab解法搜索非线性超定方程组的结果

终于介绍完啦!小伙伴们,这篇关于《求解决,已知三点坐标,到三点的距离比例,求未知点坐标》的介绍应该让你收获多多了吧!欢迎大家收藏或分享给更多需要学习的朋友吧~golang学习网公众号也会发布Golang相关知识,快来关注吧!

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