曲线积分中x²的去向：为什么∫x²sin(x³)dx会变成1/3∫sin(x³)dx³？

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曲线积分的疑问

在尝试解决曲线积分时，遇到了一点困扰。在标准答案的第二步中，积分被写为：

∫ x² sin(x³) dx

然而，在第三步中，积分变成了：

1/3 ∫ sin(x³) dx³

这让我感到迷惑，因为 x² 似乎消失了。难道标准答案算错了？

答案剖析

仔细观察，我们可以发现：

x² dx = 1/3 dx³

这是因为：

d(x³) = 3x²(dx)

因此，当积分时，x² 的系数变成 1/3。

将此规则应用到最初的积分中，我们得到：

∫ x² sin (x³) dx = ∫ 1/3 sin(x³) dx³

这就是标准答案中第三步的由来。因此，答案实际上是正确的，x² 并没有消失。

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