归并排序优化逆序对统计方法

本文针对数组中“不满足降序条件的数对”统计问题，提出了一种高效的解决方案。首先，文章简要介绍了时间复杂度为O(N^2)的暴力枚举法。然后，重点讲解了如何利用归并排序的特性，在O(N log N)的时间复杂度内统计逆序对。该方法的核心在于归并阶段，通过比较左右子数组元素的大小关系，累加不满足降序条件的数对数量。文章详细阐述了归并排序的计数原理，并提供了Java代码实现，同时强调了累加子归并结果和避免副作用的重要性。此外，还分享了使用`System.arraycopy`进行性能优化的技巧。本文旨在帮助读者理解并掌握归并排序优化统计逆序对的方法，提升算法效率。

引言：理解“不满足降序条件的数对”

在数组处理中，我们有时需要识别那些不符合特定排序规则的元素对。本教程关注的问题是：给定一个整数数组 hs，我们需要统计所有满足以下条件的数对 (hs[i], hs[j]) 的数量：

1. i < j (即 hs[i] 在 hs[j] 之前)
2. hs[i] < hs[j] (即 hs[i] 的值小于 hs[j] 的值)

这类数对可以理解为在目标降序排列中出现的“逆序”对。例如，对于数组 hs = [7, 3, 5, 4, 1]：

• 3 小于 5 (且 3 在 5 之前)，形成一个不满足降序条件的数对 (3, 5)。
• 3 小于 4 (且 3 在 4 之前)，形成一个不满足降序条件的数对 (3, 4)。 因此，总数为 2。

再如 hs = [8, 5, 6, 7, 2, 1]：

• 5 小于 6，形成 (5, 6)。
• 5 小于 7，形成 (5, 7)。
• 6 小于 7，形成 (6, 7)。 总数为 3。

接下来，我们将介绍两种解决此问题的方法。

方法一：暴力枚举法 (O(N^2))

最直观的方法是使用两层嵌套循环，遍历所有可能的数对 (hs[i], hs[j]) 并检查它们是否满足条件。

算法思路

1. 初始化一个计数器 count 为 0。
2. 外层循环从数组的第一个元素 i = 0 遍历到倒数第二个元素 hs.length - 1。
3. 内层循环从 j = i + 1 遍历到数组的最后一个元素 hs.length - 1。
4. 在内层循环中，比较 hs[i] 和 hs[j]。如果 hs[i] < hs[j]，则 count 加 1。
5. 循环结束后，count 即为所需结果。

示例代码

public class ArrayPairCounter {

    /**
     * 使用暴力枚举法统计不满足降序条件的数对。
     * 时间复杂度：O(N^2)
     *
     * @param hs 输入整数数组
     * @return 不满足降序条件的数对数量
     */
    public static int countBaadBruteForce(int[] hs) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < hs.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < hs.length; j++) {
                // 比较当前位置 hs[i] 与其后的所有位置 hs[j]
                if (hs[i] < hs[j]) {
                    // System.out.println("Found bad pair: (" + hs[i] + "," + hs[j] + ")"); // 可选：打印数对
                    count++;
                }
            }
        }
        return count;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr1 = {7, 3, 5, 4, 1};
        System.out.println("Array: " + java.util.Arrays.toString(arr1) + ", Bad pairs: " + countBaadBruteForce(arr1)); // 预期输出 2

        int[] arr2 = {8, 5, 6, 7, 2, 1};
        System.out.println("Array: " + java.util.Arrays.toString(arr2) + ", Bad pairs: " + countBaadBruteForce(arr2)); // 预期输出 3
    }
}

优缺点

• 优点： 算法逻辑简单直观，易于理解和实现。
• 缺点： 时间复杂度为 O(N^2)，对于大型数组，性能会显著下降。

方法二：基于归并排序的优化算法 (O(N log N))

当数组规模较大时，O(N^2) 的暴力解法将无法满足性能要求。我们可以利用归并排序的特性，在 O(N log N) 的时间复杂度内完成计数。这种方法的核心在于归并（merge）阶段。

归并排序基础回顾

归并排序是一种分治算法：

1. 分解 (Divide)： 将待排序数组分成两个大致相等的子数组。
2. 解决 (Conquer)： 递归地对这两个子数组进行排序。
3. 合并 (Combine)： 将两个已排序的子数组合并成一个完整的有序数组。

在合并两个已排序的子数组时，我们可以同时统计满足条件的数对。

计数原理

假设我们正在合并两个已经按照降序排列的子数组 l (左半部分) 和 r (右半部分)。我们的目标是统计原始数组中所有 hs[i] < hs[j] 且 i < j 的数对。

当从 l 和 r 中选择元素合并到一个新的数组 a 时：

• 如果 l[lIdx] >= r[rIdx]：这意味着 l[lIdx] 应该在 r[rIdx] 之前（或相等），符合降序排列。我们将 l[lIdx] 放入 a，并继续处理 l 的下一个元素。此时，l[lIdx] 与 r[rIdx] 不构成我们定义的“不满足降序条件的数对”。
• 如果 l[lIdx] < r[rIdx]：这意味着 r[rIdx] 比 l[lIdx] 大，但 r[rIdx] 在原始数组中位于 l[lIdx] 之后。因此，l[lIdx] 与 r[rIdx] 构成一个“不满足降序条件的数对”。更重要的是，由于 l 和 r 都是降序排列的，r[rIdx] 不仅大于 l[lIdx]，它也大于 l 中所有从 l[lIdx] 到 l 末尾的剩余元素。因此，r[rIdx] 会与 l 中所有这些剩余元素 (l[lIdx], l[lIdx+1], ..., l[l.length-1]) 各自形成一个“不满足降序条件的数对”。此时，我们将 r[rIdx] 放入 a，并将计数器增加 l.length - lIdx（即 l 中剩余元素的数量）。

通过在每次合并时累加这些计数，我们最终可以得到整个数组中不满足降序条件的数对总数。

代码实现

import java.util.Arrays; // 引入Arrays工具类用于打印和数组复制

public class MergeSortPairCounter {

    /**
     * 外部调用接口，用于统计不满足降序条件的数对。
     * 为了避免修改原始数组，先复制一份。
     *
     * @param hs 输入整数数组
     * @return 不满足降序条件的数对数量
     */
    public static int countBaadMergeSort(int[] hs) {
        // 复制数组以避免对原始数组的副作用
        int[] tempArray = Arrays.copyOf(hs, hs.length);
        return mergeSortAndCount(tempArray, tempArray.length);
    }

    /**
     * 归并排序的核心逻辑，同时进行计数。
     *
     * @param a 待排序并计数的数组
     * @param n 数组长度
     * @return 不满足降序条件的数对数量
     */
    private static int mergeSortAndCount(int[] a, int n) {
        // 基本情况：如果数组只有一个元素，无需排序，也没有不满足条件的数对
        if (n <= 1) { // 修正：n < 2 即可，n=1时返回0
            return 0;
        }

        int mid = n / 2;
        int[] l = new int[mid];
        int[] r = new int[n - mid];

        // 使用 System.arraycopy 提高数组复制效率
        System.arraycopy(a, 0, l, 0, mid);
        System.arraycopy(a, mid, r, 0, n - mid);

        // 累加左右子数组的计数结果
        int count = 0;
        count += mergeSortAndCount(l, mid);
        count += mergeSortAndCount(r, n - mid);

        // 累加当前归并操作产生的计数结果
        count += mergeAndCount(a, l, r);
        return count;
    }

    /**
     * 归并两个已排序的子数组，并统计不满足降序条件的数对。
     * 注意：此方法将合并后的结果存回数组 a，并按照降序排列。
     *
     * @param a 目标数组，用于存放合并后的结果
     * @param l 左子数组 (已降序排列)
     * @param r 右子数组 (已降序排列)
     * @return 当前归并操作中发现的不满足降序条件的数对数量
     */
    private static int mergeAndCount(int[] a, int[] l, int[] r) {
        // System.out.println("Merging " + Arrays.toString(l) + " and " + Arrays.toString(r)); // 可选：打印合并过程

        int badPairCount = 0;
        int lIdx = 0, rIdx = 0, aIdx = 0;

        // 当左右子数组都还有元素时进行比较合并
        while (lIdx < l.length && rIdx < r.length) {
            // 如果左边元素大于等于右边元素，符合降序排列，取左边元素
            if (l[lIdx] >= r[rIdx]) {
                a[aIdx++] = l[lIdx++];
            } else {
                // 如果左边元素小于右边元素，则 r[rIdx] 比 l[lIdx] 大
                // 并且 r[rIdx] 比 l 数组中从 lIdx 位置开始的所有剩余元素都大
                // 这些都构成“不满足降序条件”的数对
                // System.out.println("  Found bad pairs with " + r[rIdx] + " from left remaining: " + Arrays.toString(Arrays.copyOfRange(l, lIdx, l.length))); // 可选：打印详细数对
                badPairCount += (l.length - lIdx); // 累加计数
                a[aIdx++] = r[rIdx++]; // 取右边元素
            }
        }

        // 将剩余的左边元素复制到目标数组
        if (lIdx < l.length) {
            System.arraycopy(l, lIdx, a, aIdx, l.length - lIdx);
        }
        // 将剩余的右边元素复制到目标数组
        if (rIdx < r.length) {
            System.arraycopy(r, rIdx, a, aIdx, r.length - rIdx);
        }

        // System.out.println("  Merged result: " + Arrays.toString(a) + ", Current bad pairs: " + badPairCount); // 可选：打印合并结果和计数
        return badPairCount;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr1 = {7, 3, 5, 4, 1};
        System.out.println("Array: " + java.util.Arrays.toString(arr1) + ", Bad pairs (Merge Sort): " + countBaadMergeSort(arr1)); // 预期输出 2

        int[] arr2 = {8, 5, 6, 7, 2, 1};
        System.out.println("Array: " + java.util.Arrays.toString(arr2) + ", Bad pairs (Merge Sort): " + countBaadMergeSort(arr2)); // 预期输出 3
    }
}

注意事项

1. 累加所有子归并结果： mergeSortAndCount 函数必须累加递归调用 mergeSortAndCount(l, mid)、mergeSortAndCount(r, n - mid) 和当前 mergeAndCount 的结果，才能得到最终的总数。这是原代码中常见的错误点，只返回了最后一次合并的结果。
2. 避免副作用：复制原始数组： mergeSortAndCount 方法会修改传入的数组以完成排序。如果需要保留原始数组不变，应在调用前使用 Arrays.copyOf() 创建一个副本，如 countBaadMergeSort 方法所示。
3. 性能优化：使用 System.arraycopy： 在数组的复制和剩余元素的拷贝

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