0/1背包问题：如何预算内最大化收益

在资源有限的情况下，如何做出最优选择？本文聚焦于**0/1背包问题**在实际场景中的应用，探讨如何在给定预算下，最大化所选物品的数量。面对具有不同成本和价值的物品清单，我们旨在找到一种策略，使得在不超过预算的前提下，获取尽可能多的物品。本文将深入分析传统贪心算法的局限性，并通过**动态规划**提供两种高效的解决方案，分别适用于常规预算和预算极大但总价值相对较小的情况。通过本文，读者将能够掌握解决此类资源分配问题的实用方法，为决策提供有力支持，实现资源利用的最大化。

本文深入探讨了在给定预算下，如何最大化收集具有不同成本和价值（物品数量）的物品。我们将此问题映射为经典的0/1背包问题，并详细介绍两种动态规划解决方案：一种适用于常规预算规模，另一种则优化处理预算极大而物品总价值相对较小的情况，旨在帮助读者高效解决此类资源分配问题。

1. 问题描述与挑战

假设我们面临一个资源分配问题：给定一个物品列表，其中每个物品 i 都由一个购买成本 cost_i 和一个可获得的物品数量 items_i 组成。我们还拥有一个总预算 budget。我们的目标是在不超过此总预算的前提下，最大化我们能够收集到的物品总数量。

例如，物品列表可能表示为 [[x, y], [x1, y1], ...]，其中 x 是成本，y 是物品数量。我们需要从这个列表中选择一些物品，使得所选物品的总成本不超过 budget，并且所选物品的总数量达到最大。

2. 为什么贪心算法不适用

在面对此类选择问题时，一个常见的误区是尝试使用贪心算法。例如，一种贪心策略可能是：

1. 将所有物品按照成本升序排序。如果成本相同，则按物品数量降序排序。
2. 从排序后的列表中依次选择物品，只要当前物品的成本加上已选物品的总成本不超过预算，就选择该物品。

示例代码中展示的正是这种贪心策略：

import java.util.List;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;

public class GreedySolver {
    public static long solve(List<List<Long>> arr, long z) {
        // 贪心排序：优先选择成本低的，成本相同时优先选择物品多的
        arr.sort(new Comparator<List<Long>>() {
            @Override
            public int compare(List<Long> a, List<Long> b) {
                int costCompare = Long.compare(a.get(0), b.get(0)); // 比较成本
                if (costCompare == 0) {
                    return Long.compare(b.get(1), a.get(1)); // 成本相同时，物品多的优先
                }
                return costCompare;
            }
        });

        long totalCost = 0;
        long totalItems = 0;
        for (List<Long> item : arr) {
            long currentCost = item.get(0);
            long currentItems = item.get(1);

            if (totalCost + currentCost <= z) { // 如果预算允许，则选择该物品
                totalCost += currentCost;
                totalItems += currentItems;
            } else { // 否则，无法再选择更多物品
                break;
            }
        }
        return totalItems; // 返回收集到的总物品数
    }

    public static void main(String[] args) {
        List<List<Long>> items = new ArrayList<>();
        items.add(Arrays.asList(10L, 10L)); // 物品A: 成本10, 物品数10
        items.add(Arrays.asList(100L, 100L)); // 物品B: 成本100, 物品数100
        items.add(Arrays.asList(11L, 15L)); // 物品C: 成本11, 物品数15

        long budget = 110;
        System.out.println("贪心算法在预算 " + budget + " 下的最大物品数: " + solve(items, budget));
        // 预期输出: 25 (A+C)
        // 排序后可能为 A(10,10), C(11,15), B(100,100)
        // 选 A (cost=10, items=10), 剩余预算100
        // 选 C (cost=11, items=15), 剩余预算89
        // 无法选 B (cost=100 > 89)
        // 总物品数 = 10 + 15 = 25
    }
}

然而，这种贪心策略无法保证获得全局最优解。考虑一个反例：

• 物品A: [成本: 10, 物品数: 10]
• 物品B: [成本: 100, 物品数: 100]
• 物品C: [成本: 11, 物品数: 15]

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