单射但不满射的实例有哪些？

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1、函数f(n)=n从ℕ到ℤ是单射但不满射，因不同自然数映射不同整数且负数无原像；2、g(x)=√x在ℝ⁺→ℝ中为单射，因正实数平方根互异，但负数和零不可达；3、h(x)=eˣ在ℝ→ℝ中严格递增且输出恒正，故单射但不满射。

如果一个函数将不同输入映射到不同的输出，但其值域没有覆盖整个目标集合，则该函数是单射但不满射。以下是帮助理解这一概念的具体实例：

一、从自然数集到整数集的函数

考虑定义在自然数集 ℕ = {1, 2, 3, ...} 上的函数 f(n) = n，其目标集合为整数集 ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}。此函数保持每个自然数不变，但由于负整数和零不在 f 的输出中，因此不覆盖整个 ℤ。

1、对任意两个不同的自然数 m 和 n，若 m ≠ n，则 f(m) = m ≠ n = f(n)，满足单射条件。

2、检查目标集合 ℤ 中是否存在某些元素未被映射到，例如 -1、0 等都不在 f(ℕ) 中。

3、由此可知 f 是单射，因为没有两个自然数映射到同一个整数。

4、同时 f 不是满射，因为存在 ℤ 中的元素（如 -1）在 f 的值域中找不到原像。

二、平方根函数限制在正实数上的映射

定义函数 g: ℝ⁺ → ℝ，其中 g(x) = √x，ℝ⁺ 表示所有正实数。这个函数将每个正实数映射为其正平方根，结果仍为正实数，但目标集合是全体实数 ℝ，包含负数和零。

1、对于任意两个不同的正实数 a 和 b，若 a ≠ b，则 √a ≠ √b，因此 g 是单射。

2、观察 g 的输出范围：由于 √x > 0 对所有 x ∈ ℝ⁺ 成立，因此所有负实数以及 0 都不在值域中。

3、尽管输入互异导致输出互异，但目标集合中有大量元素未被达到。

4、故 g 是单射，但不是满射，因为 值域 ⊂ ℝ 且不等于 ℝ。

三、指数函数从实数到正实数的扩展

设 h: ℝ → ℝ 定义为 h(x) = eˣ。虽然此函数的自然值域是正实数 ℝ⁺，但若将其目标集合设定为全体实数 ℝ，那么它就无法覆盖负数和零。

1、指数函数具有严格单调递增性质，即若 x₁

2、验证单射性：假设 eˣ¹ = eˣ²，则取自然对数得 x₁ = x₂，证明 h 是单射。

3、检查满射性：是否存在某个 y ∈ ℝ 使得 h(x) = y？当 y ≤ 0 时无解，因为 eˣ > 0 恒成立。

4、因此 h 的像集仅为 ℝ⁺，远小于目标集合 ℝ，说明 h 不是满射。

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